APLICACIONES DE LA ESTATICA

Estabilidad del equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.

Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energía potencial:

• Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local.
• Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces encontramos una región donde la energía no varía.
• Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local.

ALGUNOS EJEMPLOS 

Un patinador toma una curva de 8 metros de radio con una velocidad de 36 km /h. ¿ Qué inclinación debe llevar para estar en equilibrio dinámico ?.

Para estar en equilibrio dinámico, la suma de todas las fuerzas y el momento total , incluidas las fuerzas de inercia, deben ser cero.

P  peso del cuerpo

F_c  fuerza centrífuga

F_r  fuerza de rozamiento

R_n  reacción normal del suelo

S F = 0    ®    F_r = F_c      R_n = P

S M = 0    ®    P.d. cos q = F_c .d. sen q   ®   tg  q = p /F_c = m.g /(m.v²/R) = g.R / v² 

es decir la suma del peso con la fuerza centrífuga debe pasar por el punto de apoyo.

En este caso:    q = arc tg (9'8.8 /10²) = 38º

Un camión tiene una anchura de 2 m y su centro de masas está a  1'50 m de altura. Determinar qué velocidad máxima debe llevar para no volcar en una curva de radio 30 m.

Las fuerzas de rozamiento, Fr, no ejercen ningún momento respecto aal punto O.

Para que el camión no vuelque el momento del peso, P, respecto al punto O debe ser mayor que el momento de la fuerza centrífuga, F_c :

M_o (P) ³ M_o(F_c)  ®    P. d /2 ³ F_c .h  ®    m. g. d /2 ³ m. v² .h /R

v² £  g. d. R /(2.h)  ®    v £  [ g. d. R /(2.h) ]^1/2 

En este caso:  v £  [ 9'8. 2. 30 /(2.1'5) ]^1/2 = 14 m /s

El resultado no depende de la masa del camión pero si de su anchura y de la posición del centro de masas

Realizado por: RODRIGUEZ BAUTISTA FRANCISCO MANUEL